1.8.3. Формула Ш еннона для значений функции , восстановленной по дискретным значениям Преобразование Фурье от последовательности дискретных значений (1.26) запишем в виде преобразования Фурье, используя (1.29): Применяя формулу для преобразования Фурье от произведения двух функций, получим Эта формула устанавливает связь между преобразованиями Фурье от функции и последовательности. Как и следовало ожидать, Y(w) имеет период 1/Т. Предположим, что спектр исходного сигнала ограничен, то есть |iu| > М => |Ғ(ге)| = 0 для некоторого М. Выберем Т таким образом, чтобы выполнялось неравенство (1.24). В этом случае функция F(w) однозначно определяется функцией Y(w) в равенстве (1.31). Это следует из того замечания, что для разных п носители функций F (w — при выполнении (1.24) не пересекаются. Другими словами, для любого w значение функции Y{w) зависит лишь от одного слагаемого в правой части (1.31). Величина 2М называется частотой выборки Найквиста. Если частота выборки больше указанной величины, то спектр непрерывного сигнала может быть восстановлен по спектру последовательности. С другой стороны, функция восстанавливается по своему преобразованию Фурье. Это означает, что при выполнении условия (1.24), когда спектр функции имеет носитель в интервале [—М, М], сама функция может быть восстановлена по своим значениям в точках /(пТ ) . Это и есть теорема Котельникова --Шеннона. Y(w) = U(w) * F(w) откуда вытекает (1.31)
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==