Функционал, определённый дельта-функцией, принято обозначать г помощью интеграла Фактически никакого интегрирования не происходит, но такое определение становится интуитивно более понятным, если ввести функцию Sn, определённую равенством: 6п(х) = п / 2, |х| < 1/п и равна нулю в остальных точках. Очевидно, что Сам функционал можно представить в виде предела Теперь <5можно рассматривать как функцию, носитель которой сосредоточен в нуле. В згой связи интересно понять содержательный смысл (1.2). Как следует из доказательства, все сводится к исследованию интегралов в смысле главного значения. Рассмотрим график функции sin{Nx) /x , представленный на рис. 1.2. За счет быстрой ос- циляции интеграл по области, не содержащей начало, стремится к 0. В 0 функция равна N, что и определяет аффект дельта-функции. Представление функционала в виде интеграла позволяет получать верные формулы путем формальных преобразований интегралов. Например, преобразование от exp(2Trjat) равно У ф(х)6(х)с1х = <р( 0) J Srl(x)dx = 1. ОС ( 1.4 )
RkJQdWJsaXNoZXIy MTExODQxMg==