Калижанова, А.У. Системный анализ Учебное пособие

105 Корни характеристического уравнения могут быть действительными ( ), мнимыми и комплексными : (10.8) Причем комплексные корни всегда попарно сопряжены между собой: если есть корень с положительной мнимой частью, то обязательно существует корень с такой же по модулю, но отрицательной мнимой частью. Переходная составляющая (10.5) при стремится к нулю лишь в том случае, если каждое слагаемое вида . Характер этой функции времени зависит от вида корня . Рассмотрим все возможные случаи расположения корней на комплексной плоскости и соответствующие им функции . Каждому действительному корню в решении (10.8) соответствует слагаемое вида: . (10.9) Если , то функция (10.5) при стремится к нулю. Если , то функция (10.5) неограниченно возрастает. Если , то эта функция остается постоянной. 2) Каждой паре сопряженных комплексных корней в решении (4) соответствуют два слагаемых, которые могут быть объединены в одно слагаемое (10.10) Функция (8) представляет собой синусоиду с частотой , начальной фазой и амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. Если действительная часть двух комплексных корней , то колебательная составляющая (8) будет затухать. Если , то амплитуда колебаний будет неограниченно возрастать. Наконец, если , т.е. если оба сопряженных корня мнимые , то представляет собой незатухающую синусоиду с частотой . Если среди корней характеристического уравнения имеются l равных между собой корней p l , то в решении вместо l слагаемых вида появится одна составляющая (10.11) Учитывая, что функция вида при любом b убывает быстрее, чем возрастают слагаемые вида , можно доказать, что и в случае кратности