Калижанова, А.У. Системный анализ Учебное пособие

104 Теория устойчивости автоматических систем управления, имеющих линейный характер, имеет развитый математический аппарат [20]. Устойчивость системы определяется ее внутренней функциональной структурой, т. е. зависит только от характера свободного движения системы. Свободное движение линейной или линеаризованной системы описывается однородным дифференциальным уравнением (10.3) где свободная составляющая выходной величины системы. Вынужденная составляющая выходной величины, зависящая от внешнего воздействия и правой части дифференциального уравнения (10.3) в примере 1, на устойчивость системы не влияет. Дадим математическое определение понятия «устойчивость». Система является устойчивой, если свободная составляющая переходного процесса с течением времени стремится к нулю, т.е. если (10.4) Очевидно, что при этом выходная величина системы будет стремиться к вынужденной составляющей, определяемой внешним воздействием и правой частью уравнения (3). Устойчивость в смысле условия (2) принято называть асимптотической. Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т. е. если (10.5) то система неустойчива. Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости. Найдем общее условие, при котором система, описываемая уравнением (1), устойчива. Решение уравнения (1) равно сумме (10.6) где постоянные, зависящие от начальных условий; корни характеристического уравнения: (10.7)