Спирина, М.С. Дискретная математика

Изображение множеств. Множества удобно изображать с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна). Элементы множества изображаются точками внутри круга, если они принадлежат множеству (ае М на рис. 1.1, а), и точками вне круга, если они мно­ жеству не принадлежат (b М). Будем также использовать симво­ лы Vx вместо слов «для любых х», «каждый элемент х» и Зх вместо слов «существует х». Значение этих сим­ волов и правила их употребления бу­ дут подробно разъяснены в гл. 4 и 5. Из множества М можно выделить его часть (также выделением нового характеристического свойства или перечислением элемен­ тов) — множество К, все элементы которого обладают таким же признаком, как и элементы множества М. Множество К называют подмножеством множества М и обозначают К с М (рис. 1.1, б). Более строго: множество К называется подмножеством множества М (К с М), если для любого х е К выполняется х е М (т. е. Vx е К влечет х е М). Например, добавляя к множеству однозначных целых чисел А = {0, 1, ..., 9} признак «число делится на 3», получаем множе­ ство В = {0, 3, 6 , 9} с А. Так, множество целых чисел Z является подмножеством мно­ жества рациональных чисел Q. Для числовых множеств справед­ ливо соотношение: N c Z c Q c t c C , где N — множество нату­ ральных чисел, Q — рациональных, М — действительных, С — комплексных чисел. Для любого непустого множества М можно сразу указать два его подмножества независимо от состава и струк­ туры М : это оно само и пустое. Очевидно, пустое множество со­ держится (является подмножеством) в любом множестве. Также необходимо учитывать различие в употреблении знаков включения (с) и принадлежности (е ) для множества множеств. Например, М — множество всех факультетов в нашем коллед­ же, а К — факультет программирования. Хотя К само является мно­ жеством (состоит из студентов и сотрудников — преподавателей, администрации и др.), верна запись К е М, так как факультет К является элементом всего множества М. Запись К а М неверна, так как множества К и М содержат разные элементы: К — людей, М — факультеты. Однако, если рассмотрим множество О — совокуп­ ность людей со всех факультетов (например, при всеобщем голосо­ вании по насущному вопросу), то, безусловно, К а О. Универсальным называют множество U, состоящее из всех воз­ можных элементов, обладающих данным признаком. Например, 16 Рис . 1.1. И ллю стр аци я кру гам и Э йлера : а — элем ент а принадлежит множ еству М, эл ем ен т Ъ не принадлежит множеству М, б — подмножество К множества М