Спирина, М.С. Дискретная математика

2. Единичная подстановка является нулевой степенью любой подстановки: е = о о сг1= о0. 3. п- я степень тождественной подстановки равна тождествен­ ной: е” = е, V п е Z. 4. При возведении подстановки в степень справедливо апт = = (о Т = (о")", V/j, т е Z. 5. Назовем порядком подстановки наименьшее натуральное число X, такое, что а1 - е, Х(о) = m in ( p |a ,’=e}. Порядок определен для любой подстановки (докажите). В задаче 12 для подстановки а - V 1 2 3 4 2 4 3 1 \ Х = 3. / Тогда справедливо соотношение ак =ок+пХ, \/к, X, п е Z. Действительно, ак =ак ° е =ак ° алХ = ак+пк. 6. Подстановка, обратная произведению подстановок 0 | и а 2, равна произведению обратных подстановок, взятых в обратном порядке, т.е. (a2Oi)_1 = ( а , ) '1 ° (о2)_|. Инверсией подстановки называется переставление (рокировка) двух соседних значений в нижнем ряду канонической записи. Сле­ дует помнить, что при этом подстановка меняется. Пусть п — число инверсий, приводящих подстановку к еди­ ничной. Тогда функция е: а -» (-1)" называется четностью (зна­ ком) подстановки а. Иногда употребляется запись sgn(a). Если e ( o ) = 1 , то подстановка называется четной, если е(о) = - 1 , то подстановка называется нечетной. Очевидно, единичная подста­ новка является четной. К единичной подстановку можно приво­ дить разными способами с разным числом инверсий, но при этом четность числа инверсий и четность подстановки не изменятся. Задача 13. Найти число инверсий и четность подстановки о = (1 2 3 4 5 6^ 6 4 3 1 2 5 Решение. Имеем a = f \ 2 3 4 5 6 ' 6 1 4 3 2 5 ( \ 2 3 4 5 6 ' 6 4 3 1 2 5 f \ 2 3 4 5 6 ' / 1 6 4 3 2 5 1 2 3 4 5 6 6 4 1 3 2 5 '1 2 3 4 5 6^ 1 6 4 2 3 5 -> 'I 2 3 4 5 6' 1 6 2 4 3 5 у '1 2 3 4 5 6 ' 1 2 3 6 4 5 1 2 3 4 5 6) 1 2 6 4 3 5 1 2 3 4 5 6} 1 2 3 4 6 5 ю 1 2 3 4 5 6' 1 2 6 3 4 5 у 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Тогда п = 10, поэтому е(о) = ( -1 )10= 1, т.е. подстановка четная. 58