Спирина, М.С. Дискретная математика

Нечеткая логика {fuzzy logic) — это надмножество классической буле­ вой логики, расширяющее ее возможности и позволяющее вводить не­ определенность в логические выводы. Основное отличие нечеткой логи­ ки от обычной состоит в том, что она использует не только понятия «истина» и «ложь», но и промежуточные значения истинности. Не всегда реальные жизненные ситуации дают нам задачи с точным аналитическим описанием их содержания. Задачи, не поддающиеся стро­ гой формализации, привели к появлению новой математической дис­ циплины — нечеткой логики. Она дает возможность устранить противо­ речие между неопределенностями реального мира и строгими требова­ ниями четкости в математике. В настоящее время средствами нечеткой логики решаются задачи из различных областей знаний: распознавание образов, исследование опе­ раций, моделирование сложных систем, принятие решений в условиях неопределенности и т.д. Например, рассмотрим понятие «рост человека». Если рост ниже 150 см, то такого человека считают низкорослым, а выше 180 см — высоким. В зависимости от ситуаций и требований человека с ростом в промежутке от 150 до 180 см могут считать и высоким и низким с опре­ деленной долей вероятности. Поэтому четкой границы при делении лю­ дей на высоких и низких установить нельзя. Например, человек с ростом 175 см будет низеньким в команде волейболистов, но высоким среди акробатов. Для выхода из такой неоднозначной ситуации поставим в соответ­ ствие каждому числу, характеризующему рост человека (в см), некото­ рую величину, обозначающую степень принадлежности некоторому мно­ жеству. Тогда, характеризуя принадлежность элемента данному множе­ ству, необходимо указать степень принадлежности ему. Рассмотрим возможности формализации такой задачи. Определим универсальное множество U, содержащее все возможные элементы. В нашем примере это рост человека, например, в интервале (0; 300). Установим множество значений р, выступающее в качестве меры сте­ пени принадлежности некоторого элемента из U нечеткому подмноже­ ству М. Промежуточные значения соответствуют определенной степени вероятности (принадлежности), что этот элемент принадлежит подмно­ жеству. Например, человек с ростом 175 см будет входить в подмножество высоких людей со степенью принадлежности рь а в подмножество низ­ корослых людей — р2. Однако человек с ростом 200 см будет входить в подмножество высоких людей со степенью принадлежности щ = 1, а в подмножество низкорослых людей — р2 = 0. Сформулируем правило, определяющее состав нечеткого множе­ ства, — правило, по которому каждому элементу из множества U ста­ вится в соответствие элемент из множества В. Таким образом, определе­ но отображение р: U -» В. Комбинаторный анализ, или комбинаторика, — одна из наибо­ лее успешно применяемых в настоящее время областей математики. 54