Спирина, М.С. Дискретная математика

Система счисления называется позиционной (ПСС), если значе­ ние цифры зависит от ее положения в числе. Например, в системе счисления с основанием 10 число 9597 означает: 9597 = 9 • 1000 + + 5 ■100 + 9 • 10 + 7 • 1 = 9 • 103+ 5 • 102+ 9 • 101+ 7 • 10°, т.е. «цифра 5» на третьем справа месте означает вклад в сумму, равный 5 Ю3' 1. Любое действительное число А можно представить в виде сум­ мы разложений по степеням основания системы счисления: п Дг = X аЛ‘ = anQn + ап-\Я"~' + ■■■ + axq{+aoq° + я ,<Г1 + ... + a_mq-m i=-m с произвольным числом q > 1, называемым основанием. В общем случае т - » °о, т.е. число А представимо в виде бесконечного ряда из степеней q. Понятно, что при заданном основании число А однозначно определяется всеми коэффициентами а, с соблюде­ нием порядка, т.е. кортежем длины п + т + 1. Общепринятым счи­ тается следующее представление: А = а па п - \ у а \а {) • 0 - \ .- .0 -т + \а -т . це лы е р а зр яды ^ дробные разряды плавающая точка Для эффективности такой свертки важно, чтобы каждый из коэффициентов а , содержал как можно меньше информации и представлялся только одним символом. Этого можно добиться, выбирая основание q натуральным. Тогда каждый коэффициент а, будет также натуральным числом или нулем и будет называться цифрой в ПСС с основанием q, причем для соблюдения един­ ственности представления цифра а , должна быть меньше, чем q: V/ е {-т, ..., п) 0 < а, < q. Тогда, если т < °°, то число А будет рациональным; если т = 0, то число А будет целым. Теперь должен быть понятен смысл операции взятия целой ча­ сти числа не только в абсолютном смысле, но и в виде представле­ ния в ПСС. Для неотрицательного числа нужно из записи числа в этой системе отбросить все знаки, стоящие справа от плавающей точки (иногда она изображается запятой), для отрицательного — отбросить дробные разряды (если они существуют), сохранить знак «минус» и вычесть единицу. Например, [103,2347] = 1037; [—10036] = = -10036; [-1003,0056] = -10046; -788,12, = -8009. В различных ПСС одно и то же число (в абсолютном смысле) имеет различный вид, и, наоборот, одинаковой записи в разных ПСС соответствуют разные числа. Например: 123321ш= (1 •Ю5+2-104+3-103+3-102+2- Ю‘+1 10°)10= 123321а6с; 1 2 3 3218 = (1 • 85 + 2 • 84 + 3 • 83 + 3 • 82 + 2 • 8 1 + 1 • 8°)8 - 4 2 7 0 5 абс; 123 3214 = (1 ■45+ 2 • 44 + 3 • 43+ 3 • 42 + 2 • 41+ 1 • 4°)4 = 1785абс, где под символами 1, 2, 3 обозначены первая, вторая и третья (после 0) цифры соответствующих ПСС: 18 = 1абс = 14; 28 = 2абс = 24; ^8 = Забс = 34. 296