Спирина, М.С. Дискретная математика

Т а б л и ц а 5.11 Таблица общего члена и суммы к упр. 5.10 1 2 3 . . . п ап Sn 5.11. Каким методом установлена закономерность в упр. 5.10? Каков характер выводов? Как получить достоверный вывод? Д о ­ кажите справедливость гипотезы либо опровергните ее. 5.12. Методом математической индукции докажите тождества: а) 4 + 9 + 14 + ... + (5/7 - 1) = л(5я + 3). б) 2 + 6 + 10 + ... + 2(2 п - 1) = 2л2; ч «з лз з и2( л + 1)2 в) I 3 + 23 + ... + л3 = — ; г) 3 + 9 + 27 + . . .+ 3" = ^ (З л -1 ); д) 1 • 2 + 2 • 5 + 3 • 8 + ... + я(3л - 1) = л2(л + 1); е) I 2 + 22 + + л2 = л(л + 1)(2л + 1) 5.13. Докажите, что при любых л е N выражение: а) 72я - 1 делится на 24; г) 5я + 2 • 3я + 5 делится на 8; б) 13я + 5 делится на 6; д) 4я + 15л - 1 кратно 9; в) 6я + 20л + 24 делится на 25; е) 32я + 2 + 8л - 9 кратно 16. 5.14. Докажите справедливость формулы для суммы ряда: а) б) в) г) Д) 1 4. 1 , . 1 + 1 л . 1-3 3-5 5-7 ' ( 2 л - 1)(2л +1) 2л + Г 1 , 1 , 1 , 1 л . 1-4 4 -7 7 1 0 " (Зл - 2)(3л +1) Зл + Г 1 f 1 ., 1 , 1 л 2-5 5-8 8 11 " (Зл - 1)(3л + 2) 6 л + 4 ’ 1 , . 1 , 1 , 1 л . 1•5 4 5-9 9 1 3 ‘ (4л - 3)(4л +1) 4л + Г I2 h 22 н З2 л2 л(л +1) . 1 3 3-5 h5-7 + " ‘ ' ( 2 л - 1)(2л +1) 2(2я + 1)’ С) Т! + Т! + - + ж) л! + (я + 1)! 1! ^ Г ж 1 * Ц > V n s 2 ; , (Я+ 2)! , (л + л»)! 2 ! ал ! (л + АЛ+ 1)! /я!(л + 1) ' 287