Спирина, М.С. Дискретная математика

5. Совершено убийство. Подозреваются Браун, Джон и Смит. Один из них брат убитого, другой — сосед, а третий — случайный знакомый. Каждый из них сделал заявление. Браун: Если ни я, ни Джон невиновны, то Смит тоже невино­ вен. Смит: Чтобы обвинить меня и Брауна, достаточно признать Джона невиновным. Но Джон виновен. Значит, нельзя считать, что ни я, ни Браун невиновны. Джон: Если меня сочтут виновным, то Смиту удастся оправ­ даться только тогда, когда оправдается Браун. Но виновен либо Смит, либо Браун. А я невиновен. Следователь сообщил, что правду сказал только брат убитого, а остальные подозреваемые солгали. Кто убийца? Как фамилия убитого? 6. Коля пригласил свою сестру приехать к нему в гости. После этого он получил от нее три сообщения: а) «Я поеду в гости, если только со мной поедет папа»; б) «Чтобы я приехала, необходимо, чтобы меня сопровождала мама». в) «Либо приедем мы с мамой, либо приедет только папа». Когда приехали гости, оказалось, что из трех сообщений ис­ тинным было только одно. Кто приехал навестить Колю? 5.7. Придумайте примеры, иллюстрирующие действия разде­ лительно-категорических силлогизмов, и проверьте истинность выводов. Дайте оценку характера вывода. 5.8. Сравните соотношения и на основе подмеченного сходства сформулируйте гипотезу об общем члене последовательности с помощью математических символов: а) 3 + 7 = 10, 3 + 17 = 20, 13 + 17 = 30, ...; б) гипотеза Гольдтбаха (XVIII в.): 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3+11 , 16 = 3 + 13 = 5 + 11,...; в) 1 = 0 + 1 , 2 + 3 + 4 = 1 + 8, 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 8 + 27, 10+11 + + 12 + 13 + 14+ 15 + 16 = 27 + 64, ...; г) 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5+ 7, ...; д) 1, 1 + 8, 1 + 8 + 27, 1 + 8 + 27 + 64 + ...; е) малая теорема Ферма: (л2 - л ) : 2, (л3 - л ) :3, (л5 - л ) : 5, ... 5.9. Каким методом установлена закономерность в упр. 5.11? Каков характер выводов? Как получить достоверный вывод? До­ кажите справедливость гипотезы либо опровергните ее. 5.10. Заполните табл. 5.11, установите закономерность, сделай­ те вывод и сформулируйте гипотезу о формуле общего члена по­ следовательности, а также о виде формулы суммы ряда: а )5 ' л = 1 + 3 + 5 + 7 + 6 ) S „ = l + 2 + 4 + 8 + в) S„ = I 2 - 22 + З2 - 42 + ...;г)5'„ = -1 +3 - 5 + 7 - 9 + .. Д) Sn " Г 2 + 2Д + Г 4 +-"; е) Sn = Г з + 3^5 + 5^7+ ‘" 286