Спирина, М.С. Дискретная математика

гипотеза переросла в научную теорию, имеющую достоверный характер. Порой две альтернативные гипотезы носят противоречивый характер. Тогда ищутся факты, подтверждающие одну и опровер­ гающие другую гипотезу. Упражнения 5.1. В пропозиционных функциях сделайте подстановку пере­ менной, чтобы в первом случае получилось истинное высказыва­ ние, а во втором ложное: а) х — президент России; б) х делится на 2 и на у; в) х больше 7, но меньше у\ г) неверно, что х старше у, но моложе z; д) х — первый космонавт России; е) х расположен между у и z. 5.2. Связывая переменные кванторами, превратите функции в высказывания: а) х — автор романа у; б) город х стоит на берегу у; в) река х впадает в у, г) студент х учится на факультете у в учебном заведе­ нии z; д) х — число сторон, а у — число диагоналей для много­ угольника z; е) словарь перевода с языка х на язык у. 5.3. Пусть М = <N, 53, Р3>, где 53(х, у , z) = И о х + у = z, а Р3(х, у , z) - И <=>х • у = z (И — истинность). Запишите формулу с одной свободной переменной х, истинную тогда и только тогда, когда а) х = 1; в) х - 2; д) х — нечетное; б) х - 0; г) х — четное; е) х — простое число. 5.4. Известно, что Р(х): «х —четное число», К(х): «х —нечетное число», Т(х): « х— простое число», Q(x, у): «у делится над». Выра­ зите в понятиях русского языка формулы логики предикатов: а) Р(12); б) К( 5) л Г(5); в) V x (£ (* , 2) -» Р(х)); г) Зх (Р (х ) л Q(x, 8)); д) \ / х ( Р ( х ) A Vy((?(x, у ) -> е) V x ( Т (х) -> Зу (Р (> ) /\ -> ^ (У))); ________ л £?(х, j ) ) ; ж) Vx (Р (х ) Q(x, 8); з) У хЩ х ) - » Vy(7’(j') _ -» Q(x, Д'))); и) Эх (Р(х) л Т(х) л Зх ((Р(х) л Г(х)) л Зу (х * у) л (Р(х) л Т(у)))- 5.5. Даны предикаты Р(Х): X < 3, Q(Y): Y < 6. Составьте пре­ дикаты: а) Р(Х) л Q(Y); в) Р(Х) ^ Q(Y); д) Q(X) -> Р(Х); б) Р(Х) v 0 (У ); г) Q(Y) -» Р(Х); е) (?(ДГ) v Р(ЗГ). 5.6. Решите задачи. 1. Андрей, Ваня и Саша собрались в поход. Учитель, хорош знавший этих ребят, высказал следующие предположения: а) Андрей пойдет в поход только тогда, когда пойдут Ваня Саша; 284