Спирина, М.С. Дискретная математика

1+ 4 + 7 +... + (ЗА: - 2) + (3 (к +1) - 2) = (* + 1)(3(* + 1)-1) Упростив выражение и воспользовавшись гипотезой, имеем к(3к -1 ) (3 к + 1) (к + 1)(ЗЛ + 2) 2 ' 1 2 что после приведения к общему знаменателю примет вид Зк2+5к +2 Зк2 +5к + 2 2 2 Видим, что формула справедлива для п = к + 1 при условии ее выполнимости при п = к, следовательно, она справедлива для любого натурального числа п е N. Схема метода математической индукции может быть записана кратко: 1. 5(1) — выполняется. 2. Г: S(k), Чк е N. 3. S(k) => S ( k + 1). В математической литературе традиционно ММИ представля­ ется в виде этапов: 1. Проверить справедливость 5 (а |) . 2. Доказать, что если выполняется S(k), то справедливо S( k+ 1). Однако предпочтительнее выделять второй этап в виде гипоте­ зы, чтобы уже от нее переходить непосредственно к доказатель­ ству (этап 3). Конечно, доказать формулу можно только в том случае, когда она действительно имеет место, т.е. гипотеза верна. Задача 28. Проверить, является ли формула S„ = суммой ряда S„ = ]Т 2 + 2 Д + , " + я ( л + 1)' Решение. Применим метод математической индукции. При и = 1 имеем у -^ = \ = \ ' Ф°РмУла верна. Гипотеза: при п = к формула справедлива: р 2 + 2 ^ 3 + -- + _1____ п + 1 п(п + 1) Зп + Г Убедимся в ее справедливости при п = к + 1: (J- + 1 \1 ’2 2 ■3 + " ' + к(к + 1) 1 _ jfc+1+l (к + 1)(А: + 2) 3(к + 1) + Г Используя гипотезу, имеем А: + 1 1 _ к +2 (к + \)2(к + 2) + (Зк + 1) 3* +1 (* + l)(Jfc + 2) ЗА: н- 4 (Зк +1)(к + \)(к + 2) к +2 Зк +4 ‘ 272