Спирина, М.С. Дискретная математика

не определенный ранее термин «пересекающиеся»: «Параллель­ ными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не пере­ секающиеся между собой». Аксиомы. Аксиома — это суждение, которое в рамках некото­ рой науки или теории принимается истинным без доказательств. Число аксиом должно быть необходимо и достаточно для вы­ страивания рассуждений. Одна аксиома не должна зависеть от всех других. Система аксиом должна быть внутренне непротиворечивой. Система аксиом должна быть полной. Это означает, что можно доказать любую истинную формулу с помощью имеющегося набора. Примером полной теории может служить исчисление выска­ зываний (см. подразд. 5.2). Неполными теориями являются ариф­ метика и теория множеств. Факты. В различных науках, в юриспруденции и т.д. фактиче­ ский материал подтверждает или опровергает тезис. Для опровер­ жения тезиса достаточно иметь один противоречащий ему факт. Например, формула простых чисел п - х2 + х + 41 неверна при х = 41. О факте можно говорить лишь в прошедшем времени: он свершился, и есть достаточное количество надежных свидетелей, могущих это подтвердить. Вопрос заключается в том, какого сви­ детеля считать надежным. Пусть, например, над средневековым Базелем пролетает самолет. Принципиальная возможность суще­ ствования самолетов, разумеется не в средние века, доказана дей­ ствительностью. Тогда весь город, скажем, десять тысяч человек, большая часть из которых находилась в здравом уме, скажут, что они были свидетелями божественного вмешательства: пролета не­ чистой силы или, наоборот, ангела-хранителя. Так же и в физике, где нет оснований считать людей глупыми, любой эксперимент не является таковым, пока не будет получена удовлетворительная трактовка его результатов в рамках существующих теорий. Если ее нет, то появляются новые теории, способные этот эксперимент объяснить. Так, ньютонова механика могла объяснить все явле­ ния, пока не стали изучать электромагнитные явления. Теоремы. В науке новые теоремы опираются на уже доказанные. Кассификация видов рассуждений в процессе доказательства представлена на рис. 4.4. Критика или опровержение — логическая операция установле­ ния ложности или необоснованности тезиса. Ложность тезиса до­ казывается с помощью аргументов опровержения. Опровержение должно показать неправильно построенное доказательство или ложность либо недоказуемость выдвинутого тезиса. Критика может быть деструктивной и конструктивной. Все способы опровержения демонстрируют деструктивную кри­ тику, так как они, выявляя недостатки, ничего не предлагают взамен. В искусстве критика —явление уникальное и необходимое. 165