Спирина, М.С. Дискретная математика

Потребность решить уравнение типа 15 + х = 9 привела к от­ крытию отрицательных чисел (х = -6). Стремление решить урав­ нение вида 5х = 9 привело к открытию обыкновенных дробей (х = 9/5). Попытки решить некоторые квадратные уравнения вида х2= 2 привели к открытию иррациональных чисел (х = ± 72 )• По­ требность в решении уравнений вида х2 = -1 привела к открытию комплексных чисел х = ±/. В природе и в науке вообще, независимо от места и времени, противоположности могут существовать вместе (как, например, рациональные и иррациональные числа). Тогда противоположно­ сти требуют разделения и отдельного изучения. Разрешение про­ тиворечий открывает дорогу для развития мысли, для творчества. Особое значение имеет закон противоречия в ходе проведения доказательств. С этим же связан и четвертый закон правильного мышления. Он лежит в основе требований, накладываемых на до­ казательства. Непротиворечивыми должны быть как используемые в доказательствах посылки (тезисы и аргументы), так и выводы этой теории. В математике закон противоречия используется и при доказа­ тельстве методом от противного. Пусть дано истинное суждение А и надо доказать справедли­ вость В. Метод от противного заключается в том, что вместо В берут его противоречие В и затем_с помощью математических ар­ гументов доказывается, что А В = 0 (ложь). Если удается это доказать, то в результате делается вывод, что В — истинно. Про­ верим это: А В= 0 равносильно А В = 1, значит, A v B - A v В= 1, но А — ложно, т.е. для того чтобы значение дизъюнкции было равно 1, необходимо, чтобы В = 1. Методом от противного доказываются теоремы, которые нельзя или трудно доказать непосредственно. Доведение до абсурда — прием, который используется не только в математике. В споре (полемике) метод приведения к абсурду за­ ключается в том, что с помощью аргументов оппонента доказы­ вается, что он противоречит сам себе. Применяют этот прием, например, адвокаты в процессе защиты на суде. В диалектике за­ кону противоречия соответствует закон единства и борьбы проти­ воположностей. Нельзя мириться с логическими противоречиями в обыденной жизни людей. Однако иногда юристы употребляют фразу «Отсут­ ствие следа на месте преступления — тоже след». Имеется в виду след опытного преступника, умеющего не оставлять следов. Закон противоречия дополняет закон тождества. Это как бы крайние проявления различия вещей, их нетождественности. На­ пример, день и ночь, зима и лето, живой и мертвый, горячий и холодный и т.д. 160