Спирина, М.С. Дискретная математика

Т а б л и ц а 4.10 Таблица истинности для эквиваленции А В А -> В В->А (А -> В) ■(В -> А) А <-> В 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 ные импликации тождественны. Эти же высказывания можно было сформулировать и с оборотом необходимо и достаточно : «Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сум­ ма цифр делилась на 3». В некоторых случаях удобнее использовать слова тогда и только тогда. Например, с этими словами формулируются определения всех логических операций. В математике, когда аргументы каждой импликации сами явля­ ются сложными высказываниями, эквивалентность двух утвержде­ ний называется критерием. По формуле А В = (А -> В) ■(В -> А ) его доказывают сначала в одну сторону (Л -» В), затем в обратную (В -> А). Эквиваленцию можно использовать в определении всех логи ­ ческих операций. Приведем два примера. Импликацией называется такая логическая операция, которая ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложь. Нестрогой дизъюнкцией двух высказываний называется такая логическая операция, которая ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны одновременно. Следует помнить, что подобные определения будут верными, если операция эквиваленции установлена независимо. Если же ее определить по формуле А В = В -> А, то эти определения будут содержать в себе порочный круг: эквиваленция определяется ч е ­ рез конъюнкцию и импликацию, а импликация и конъюнкция определяются словами тогда и только тогда, т.е. через эквива­ ленцию. Поясним различие между знаком =, применяемым в форму­ лах, и знаком н, символизирующим эквиваленцию. Рассмотрим два выражения: у v у = 1 и у = 1. Второе выражение — это булева функция, которая может принимать разные значения в зависимо­ сти от значений переменной у. Первое выражение является тожде­ ством, оно истинно всегда, т .е . отличается от второго случая. В общей алгебре, где нет понятия булевой функции эквиваленции, наоборот, знак = обозначает тождественность, т.е. истинность 151