Спирина, М.С. Дискретная математика

«Если стороны не равны (В), то ABCD — не квадрат ( А )» или «Для того чтобы ABCD был квадратом, необходимо чтобы его сто­ роны были равны». Равенство сторон — необходимое свойство квадрата._ Эту же ошибку можно переформулировать иначе: {А -> В) = = (А -> В). Проще говоря, из невыполнения достаточного условия ничего определенного не следует, так как из ложного высказыва­ ния может следовать все, что угодно. Тот факт, что противоположные и обратные высказывания не всегда дают истинный результат, лежит в основе многих матема­ тических ошибок. Рассмотрим пример. Даны простые высказывания: A: «ABCD — квадрат»; В: «Диагонали ABCD равны». Сформулировать прямую, обратную, противоположную и про­ тивоположную обратной теоремы (или импликации). Выводы: • для того чтобы диагонали четырехугольника были равны, до­ статочно, чтобы четырехугольник был квадратом; • равенство диагоналей четырехугольника — необходимое усло­ вие для существования прямоугольника; • для того чтобы четырехугольник ABCD был квадратом, дос­ таточно, чтобы его диагонали были равны, перпендикулярны и делились точкой пересечения пополам (при этом каждое из трех последних условий является необходимым для квадрата). Итак, прямая и обратная импликации не равны между собой и в рассмотренном примере имели противоположные семантичес­ кие характеристики. Но прямая и обратная теоремы не всегда име­ ют противоположный смысл. Существуют такие высказывания, для которых одновременно справедливы и прямая, и обратная импликации: т. е. А -» В и В - » А. Такие логические операции называются эквиваленцией. Покажем, что это определение не противоречит определению эквиваленции, данному в подразд. 4.3. На языке логических операций это можно записать так: А В = (А -> В) (В -» А). Прямой подстановкой В в ' А) в формулу можно убедиться в том, что эквиваленция симметрична по своим аргументам. Справедливость этой формулы видна из таблицы истинности (табл. 4.10). Рассмотрим еще один пример. Даны высказывания: А: «Сумма цифр целого числа в десятичной записи делится на 3»; В: «Число делится на 3». Сформулировав высказывания А-> В, В-> А, А - > В , В - > А и определив их истинность, самостоятельно убедитесь, что обрат- 150