Спирина, М.С. Дискретная математика

А ^ В (основное) ■« Обратные ^ В ^ А ж Противо- ЖПротиво- п о л о ж н ы е ^ ^ ^ Х ^ ^ ^ X положные — - Обратные - — А ^ В •* ------------- ► о->л (противопоста­ вление обратному) Рис. 4.2. Правила построения обратных и противоположных высказываний правилом контрапозиции (от лат. contrapositio — противопостав­ ление). Доказательство проведем с помощью таблицы истинности и проверим на примере (табл. 4.9), где А: «Вертикальные углы», В: «Равные_углы», А -> В: «Если углы вертикальные, то они р ав ­ ны», В —> А\ «Если углы не равны, то они не могут быть верти­ кальными». Совпадение третьего и шестого столбцов таблицы истинности подтверждает вывод о том, что высказывание, противоположное обратному (В -> А ),равносильно основному высказыванию А -» В. Формула А -» В = В -> А справедлива для любых высказываний А и В. Поэтому, беря в качестве^ высказывание В и наоборот, получаем формулу В -> А = А -> В, соответствующую другой д и а ­ гональной стрелке на рис. 4.2. _ _ Ошибки при применении импликации. (А -> В) = (А —» В) — это высказывание — импликация, противоположная исходному выс­ казыванию, но такая операция, вообще говоря, неверна. Ошибка в том, что положительный смысл изменили на отрицательный, но местами не поменяли, т.е. не заменили на высказывание, обратное противоположному. Например, пусть С — «Если ABCD — квадрат (А), то его стороны равны (В)»: С = А -» В. Противоположное формулируется как «Если четырехугольник — не квадрат (А), то его стороны не равны (В)». Это неверно. Например, ромб не квад­ рат, но его стороны равны. Для исправления ошибки надосфо]э- мулировать высказывание, обратное противоположному: В А: Т а б л и ц а 4. 9 Таблица истинности А В А -* В А В в - > л 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 149