Спирина, М.С. Дискретная математика

условия сторону по отношению к соединительным союзам. Надо научиться отличать необходимое условие от достаточного, так как от этого зависит правильность доказательства теорем и выводов во всех областях естествознания. Условие теоремы — то, что дано в ее формулировке, — нельзя путать с заключением — тем, что требует доказательства. А для того чтобы выяснить, где достаточное условие, а где то, что не­ обходимо доказать, надо переформулировать теорему, используя слова «если..., то». Например, в теореме Пифагора «В прямоугольном треугольни­ ке квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов», надо вы­ делить условие и заключение. Новая формулировка этой теоремы, согласно наложенным требованиям, имеет вид: «Если дан прямо­ угольный треугольник, то квадрат гипотенузы равен сумме квад­ ратов его катетов». Сравним с привычной записью условия теоре­ мы в геометрии. Дано: А АВС — прямоугольный, ZC = 90°, с — гипотенуза, а, Ь — катеты. Доказать: с2= а2 + Ь2. Подчеркнем еще раз, что, вообще говоря, импликация не об­ ладает переместительным свойством: (А -» В) * (В -> А). Но уча­ щиеся во время рассуждений об этом часто забывают. Например, равносильны ли два математических высказывания «Вертикаль­ ные углы равны» и обратное: «Углы равны, значит, они верти­ кальные»? Первое утверждение истинно, так как доказывается соответ­ ствующая теорема. Второе неверно, так как в некоторых случаях равные углы действительно могут быть вертикальными, а в неко­ торых они могут иметь другую причину равенства. Например, они могут быть углами при основании равнобедренного треугольника или внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых и секущей. Поэтому и говорят, что высказывание «Углы вертикальные» является достаточным для утверждения «Углы равны». А равен­ ство углов необходимо, чтобы утверждать, что речь идет о верти­ кальных углах. Невыполнение необходимого условия (его ложность) влечет за собой невыполнение достаточного условия, например «Если углы не равны, то они (в принципе) не могут быть накрест лежащими». Назовем В -> А обратным высказыванием для высказывания А -» В, а высказывание А -» В — противоположным к импликации А -» В. Рассмотрим правила построения обратных высказываний (рис. 4.2). Диагональные стрелки на рис. 4.2 показывают одновременную истинность (т.е. эквивалентно) соответствующих высказываний. Докажем, например, равенство А -> В = В -» А, которое назовем 148