Спирина, М.С. Дискретная математика

Заметим, что операция отрицания не всегда выражена в явном виде с помощью слова неверно или частицы не перед глаголом. Например, для высказывания «X > 5» ( А ) отрицание может быть представлено вариантами: «неверно, что X > 5», «X не более 5» или «X < 5», а также «X < 5 или X = 5» (А). Для высказывания «Прямая а, лежащая на плоскости, не пере­ секает окружность» ( А ) отрицанием служат высказывания: «Не­ верно, что прямая а, лежащая на плоскости, не пересекает окруж­ ность», «Прямая а, лежащая на плоскости, пересекает окружность», «Прямая_я, лежащая на плоскости, имеет с окружностью общие точки» (А). Однако добавление частицы не и слова _неверно может не пре­ вратить высказывание А в отрицательное А: «Максимов — хоро­ ший программист» и «Неверно, что Максимов — хороший про­ граммист», так как речь может идти о разных Максимовых. По­ этому для получения высказываний, противоположных данным, необходимо учитывать общие правила построения противоречи­ вых суждений А и А. Если высказывание имеет вид элементарного предложения без квантора общности, то не перед глаголом дей­ ствительно заменит высказывание А на его отрицание А. Составим словарь перевода с русского языка на язык алгебры логики и включим в него таблицы истинности логических опера­ ций (табл. 4.5). Из сравнения определений логических операций, операций над множествами и соответствующих кругов Эйлера можно заключить, что дизъюнкции (логической сумме) соответствует объединение множеств, конъюнкции (логическому произведению) — пересе­ чение (произведение) множеств, строгой дизъюнкции (сумме по модулю 2 ) — прямая сумма, отрицанию — разность, имплика­ ции — подмножество. Обратим внимание, что фактически в опре­ делении множеств были использованы логические связки и, ши, не и др. В таком случае возникают проблемы с определениями, ведь получается замкнутый круг. Именно поэтому мы считаем необхо­ димым введение логических операций только через соответствую­ щие булевы функции, значения которых вводятся постулативно. Определения логических операций целиком базируются на со­ ответствующих булевых функциях и теории множеств. Все они, кроме импликации, являются понятными и бесспорными. Что касается импликации, то на первый взгляд не очевидно, почему заведомо ложное высказывание (например, «2,53 является натуральным чис­ лом») может приводить к любому утверждению (например, «Пер­ вый полет человека в космос был в 1961 г.»). Также смущает, что истинна импликация двух не связанных логически между собой истинных высказываний, например «17 — простое число» и «XXI в. начался с 2001 г.». Поэтому именно эта логическая операция будет рассмотрена подробно в следующем подразделе. 143